Naakte Statistiek is die interessantste boek oor die verveligste wetenskap

2024 Outeur: Malcolm Clapton | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 03:44

Wie het gesê statistiek is 'n dowwe en nuttelose wetenskap? Charles Wheelan voer oortuigend aan dat dit ver van die geval is. Vandag publiseer ons 'n uittreksel uit sy boek oor hoe om 'n motor te wen, nie 'n bok nie, met behulp van statistieke, en verstaan dat intuïsie jou kan mislei.

Die Monty Hall-raaisel

Die Monty Hall Mystery is 'n bekende probleem in waarskynlikheidsteorie wat deelnemers in 'n speletjiesprogram genaamd Let's Make a Deal verstom het, wat steeds gewild is in verskeie lande, wat in 1963 in die Verenigde State begin het. (Ek onthou elke keer wat ek as kind na hierdie program gekyk het, toe ek weens siekte nie skool toe gegaan het nie.) In die inleiding tot die boek het ek reeds daarop gewys dat hierdie speletjie vir statistici interessant kan wees. Aan die einde van elk van sy uitgawes het die deelnemer wat die finaal gehaal het saam met Monty Hall voor drie groot deure gestaan: Deur No. 1, Deur No. 2 en Deur No. 3. Monty Hall het aan die finalis verduidelik dat agter een van hierdie deure was 'n baie waardevolle prys - byvoorbeeld 'n nuwe motor en 'n bok agter die ander twee. Die finalis moes een van die deure kies en kry wat daaragter skuil. (Ek weet nie of daar ten minste een persoon onder die deelnemers aan die skou was wat 'n bok wou kry nie, maar eenvoudigheidshalwe sal ons aanneem dat die oorgrote meerderheid deelnemers van 'n nuwe motor gedroom het.)

Die aanvanklike waarskynlikheid om te wen is redelik maklik om te bepaal. Daar is drie deure, twee steek 'n bok weg, en die derde steek 'n motor weg. Wanneer 'n deelnemer aan die skou saam met Monty Hall voor hierdie deure staan, het hy een uit drie kanse om die deur te kies waaragter die motor geleë is. Maar, soos hierbo genoem, is daar 'n haakplek in Let's Make a Deal wat hierdie TV-program en sy aanbieder in die literatuur oor waarskynlikheidsteorie verewig het. Nadat die finalis van die vertoning na een van die drie deure gewys het, maak Monty Hall een van die twee oorblywende deure oop, waaragter daar altyd 'n bok is. Dan vra Monty Hall die finalis of hy van plan wil verander, dit wil sê om die voorheen gekose geslote deur te laat vaar ten gunste van 'n ander geslote deur.

Kom ons sê, ter wille van voorbeeld, dat die deelnemer na Deur # 1 gewys het. Toe maak Monty Hall Deur # 3 oop, waaragter die bok geskuil het. Twee deure, deur # 1 en deur # 2, bly gesluit. As die waardevolle prys agter Deur No. 1 was, sou die finalis dit gewen het, en as dit agter Deur No. 2 was, dan sou hy verloor het. Dit is op hierdie punt dat Monty Hall die speler vra of hy sy aanvanklike keuse wil verander (in hierdie geval, laat vaar deur # 1 ten gunste van deur # 2). Jy sal natuurlik onthou dat albei deure steeds toe is. Die enigste nuwe inligting wat die deelnemer ontvang het, was dat die bok agter een van twee deure beland het wat hy nie gekies het nie.

Moet die finalis die aanvanklike keuse laat vaar ten gunste van Deur # 2?

Ek antwoord: ja, dit moet. As hy by die oorspronklike keuse hou, sal die waarskynlikheid om 'n waardevolle prys te wen ⅓ wees; as hy van plan verander en na Deur nr. 2 wys, dan sal die waarskynlikheid om 'n waardevolle prys te wen ⅔ wees. As jy my nie glo nie, lees verder.

Ek gee toe dat hierdie antwoord met die eerste oogopslag ver van voor die hand liggend is. Dit blyk dat watter van die oorblywende twee deure die finalis ook al kies, die waarskynlikheid om 'n waardevolle prys te ontvang in beide gevalle ⅓ is. Daar is drie geslote deure. Aanvanklik is die waarskynlikheid dat 'n waardevolle prys agter enige van hulle versteek is ⅓. Maak die finalis se besluit om sy keuse ten gunste van nog 'n geslote deur te verander enige verskil?

Natuurlik, aangesien die vangplek is dat Monty Hall weet wat agter elke deur is. As die finalis Deur # 1 kies en daar is inderdaad 'n motor agter dit, kan Monty Hall óf Deur # 2 of Deur # 3 oopmaak om die bok wat daaragter skuil, te openbaar.

As die finalis Deur 1 kies en die motor is agter Deur 2, dan sal Monty Hall Deur 3 oopmaak.

As die finalis na Deur 1 wys en die motor is agter Deur 3, dan sal Monty Hall Deur 2 oopmaak.

Deur van plan te verander nadat die aanbieder een van die deure oopgemaak het, kry die finalis die voordeel om twee deure in plaas van een te kies. Ek sal jou op drie verskillende maniere probeer oortuig van die korrektheid van hierdie ontleding.

Die eerste is empiries. In 2008 het New York Times rubriekskrywer John Tyerney oor die Monty Hall-fenomeen geskryf. Daarna het die personeel van die publikasie 'n interaktiewe program ontwikkel wat jou toelaat om hierdie speletjie te speel en onafhanklik te besluit of jy jou aanvanklike keuse wil verander of nie. (Die program maak selfs voorsiening vir klein bokkies en karretjies wat van agter die deure verskyn.) Die program teken jou winste aan in die geval dat jy jou aanvanklike keuse verander, en in die geval wanneer jy nie oortuig bly nie. Ek het een van my dogters betaal om hierdie speletjie 100 keer te speel en elke keer haar oorspronklike keuse te verander. Ek het ook haar broer betaal om die speletjie ook 100 keer te speel en elke keer die oorspronklike besluit te behou. Die dogter het 72 keer gewen; haar broer 33 keer. Elke poging is met twee dollar beloon.

Bewyse uit episodes van die speletjie Let's Make a Deal toon dieselfde patroon. Volgens Leonard Mlodinov, skrywer van The Drunkard's Walk, was daardie finaliste wat hul aanvanklike keuse verander het omtrent twee keer so geneig om te wen as diegene wat nie oortuig was nie.

My tweede verduideliking vir hierdie verskynsel is gebaseer op intuïsie. Kom ons sê die reëls van die spel het effens verander. Byvoorbeeld, die finalis begin deur een van drie deure te kies: Deur # 1, Deur # 2 en Deur # 3, soos oorspronklik beplan. Maar dan, voordat enige van die deure, waaragter die bok skuil, oopgemaak word, vra Monty Hall: "Stem jy in om jou keuse prys te gee in ruil daarvoor dat jy die twee oorblywende deure oopmaak?" Dus, as jy Deur # 1 gekies het, kan jy van plan verander ten gunste van Deur # 2 en Deur # 3. As jy eers na Deur # 3 gewys het, kan jy Deur # 1 en Deur # 2 kies. Ensovoorts.

Dit sal nie 'n besonder moeilike besluit vir jou wees nie: dit is duidelik dat jy die aanvanklike keuse moet prysgee ten gunste van die twee oorblywende deure, aangesien dit die kans om te wen van ⅓ tot ⅔ verhoog. Die interessantste ding is dat dit in wese dit is wat Monty Hall jou in 'n regte speletjie bied, nadat jy die deur oopgemaak het waaragter die bok skuil. Die fundamentele feit is dat as jy die geleentheid gegun word om twee deure te kies, 'n bok in elk geval agter een van hulle versteek sal word. Wanneer Monty Hall die deur oopmaak waaragter die bok is, en jou dan eers vra of jy instem om jou aanvanklike keuse te verander, verhoog dit jou kanse aansienlik om’n waardevolle prys te wen! Basies sê Monty Hall vir jou: "Die kans dat 'n waardevolle prys agter een van die twee deure skuil wat jy nie die eerste keer gekies het nie, is ⅔, wat steeds meer as ⅓ is!"

Jy kan jou dit so voorstel. Kom ons sê jy het na Deur # 1 gewys. Daarna gee Monty Hall jou die geleentheid om die oorspronklike besluit te laat vaar ten gunste van Deur # 2 en Deur # 3. Jy stem in en jy het twee deure tot jou beskikking, wat beteken dat jy het elke rede verwag om 'n waardevolle prys te wen met 'n waarskynlikheid van ⅔, nie ⅓ nie. Wat sou gebeur het as Monty Hall op hierdie oomblik deur 3 oopgemaak het - een van "jou" deure - en daar was 'n bok agter dit? Sou hierdie feit jou vertroue in jou besluit skud? Natuurlik nie. As die motor agter Deur 3 wegkruip, sou Monty Hall Deur 2 oopmaak! Hy sou jou niks wys nie.

Wanneer die speletjie volgens 'n uitklopscenario gespeel word, gee Monty Hall jou werklik 'n keuse tussen die deur wat jy aan die begin gespesifiseer het, en die twee oorblywende deure, waarvan een 'n motor kan wees. Wanneer Monty Hall die deur oopmaak waaragter die bok skuil, doen hy jou bloot’n guns deur vir jou te wys watter van die ander twee deure nie die kar is nie. Jy het dieselfde waarskynlikhede om te wen in beide die volgende scenario's.

1. Kies Deur # 1, en stem dan in om na Deur # 2 en Deur # 3 te "skakel" selfs voor enige deur oopgemaak word.
2. Kies Deur # 1, en stem dan in om na Deur # 2 te "skakel" nadat Monty Hall jou die bok agter Deur # 3 wys (of kies Deur # 3 nadat Monty Hall jou die bok agter Deur # 2 wys).

In albei gevalle gee jy die voordeel van twee deure bo een om die oorspronklike besluit te laat vaar, en jy kan dus jou kanse om te wen van ⅓ tot ⅔ verdubbel.

My derde opsie is 'n meer radikale weergawe van dieselfde basiese intuïsie. Kom ons sê Monty Hall vra jou om een van 100 deure te kies (in plaas van een van drie). Nadat jy dit gedoen het, sê deur na Deur # 47 te wys, maak hy die 98 oorblywende deure oop, wat die bokke sal openbaar. Nou bly net twee deure gesluit: jou deur nr. 47 en nog een, byvoorbeeld, deur nr. 61. Moet jy jou aanvanklike keuse prysgee?

Natuurlik ja! Daar is 'n 99 persent kans dat die motor agter een van die deure is wat jy nie eers gekies het nie. Monty Hall het jou vriendelik gedoen deur 98 van hierdie deure oop te maak, daar was geen motor agter hulle nie. Daar is dus net 'n 1 uit 100 kans dat jou aanvanklike keuse (Deur # 47) korrek sal wees. Terselfdertyd is daar 'n 99 uit 100 kans dat jou aanvanklike keuse verkeerd was. Indien wel, dan is die motor agter die oorblywende deur geleë, dit wil sê Deur No. 61. As jy wil speel met die waarskynlikheid om 99 keer uit 100 te wen, dan moet jy “oorskakel” na Deur No. 61.

Kortom, as jy ooit Let's Make a Deal moet speel, sal jy beslis moet terugspring op jou oorspronklike besluit wanneer Monty Hall (of wie ook al hom sal vervang) jou 'n keuse gee.’n Meer universele gevolgtrekking uit hierdie voorbeeld is dat jou intuïtiewe raaiskote oor die waarskynlikheid van sekere gebeurtenisse jou soms kan mislei.